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计算机最基本的工作是处理数据，而数据的最底层表现形式是二进制，并非是我们人类熟悉的十进制。可以这么认为，计算机其实是很“笨的”，它只理解二进制数据。

今天，主要介绍计算机是怎样做加减运算的。你可能会想，加减运算？这么简单的事情，还用介绍？也许还真不是你想的那样。

计算机的运算是由CPU 完成的，而CPU 只会做加法运算，不会做减法运算，那计算机怎样完成减法工作呢？

1，二进制数

我们先来看看二进制数。

二进制数是由0，1 组成的，比如：

  • 十进制的5，用二进制表示是 101。
  • 十进制的7，用二进制表示是 111。

数字由正数和负数组成。为了表示正负数，计算机中就有了有符号数和无符号数之分：

  • 无符号数：英文为 unsigned，只能表示正数。
  • 有符号数：英文为signed，即能表示正数，又能表示负数。

C/C++ 语言中的数字有有符号数和无符号数之分。

Java 语言所有的数字都是有符号数。

假如，我们用 4 位二进制，来表示无符号数，也就是只表示正数，能表示的范围是 0 到 15，转换关系如下表：

十进制数 二进制数 十进制数 二进制数
0 0000 8 1000
1 0001 9 1001
2 0010 10 1010
3 0011 11 1011
4 0100 12 1100
5 0101 13 1101
6 0110 14 1110
7 0111 15 1111

有符号数，即要表示正数，也要表示负数。

要用二进制表示有符号数，需要用二进制的最高位来表示符号，0 表示正，1 表示负。所谓的最高位，也就是最左边那一位。

用 4 位二进制，来表示有符号数，能表示的范围是 -8 到 7，转换关系如下表：

十进制数 二进制数 十进制数 二进制数
0 0000 -8 1000
1 0001 -1 1001
2 0010 -2 1010
3 0011 -3 1011
4 0100 -4 1100
5 0101 -5 1101
6 0110 -6 1110
7 0111 -7 1111

上表中的最高位的符号位，已标红。

要注意，对于有符号的4 位二进制 —-1000 不是 -0，而是 -8。

可以总结出，对于N 位的二进制数：

  • 无论是表示有符号数还是无符号数，都能表示2^N 个数字。
  • 若用于表示无符号数，则能表示的范围是 [0, 2^N - 1]。
  • 若用于表示有符号数，则能表示的范围是 [-2^(N-1), 2^(N-1) - 1]。
    • 需要注意，在有符号数中，对于符号位是 1，后面 N-1 位全是 0，这种情况表示的是 -2^(N-1)(也就是所能表示的最小值)，而不是 -0。
    • 实际上是将-0 这种情况解释成了最小值，否则就会出现 +0 和 -0 两个0。

2，二进制原码

上面介绍到的二进制就是原码形式。

原码就是除符号位外的其他位，保存该二进制数的绝对值。

用原码进行加法计算

计算机中的数字运算都会先转成二进制数再进行计算。

我们用原码来计算加法，用4 位二进制数来计算 3 + 2，过程如下：

在这里插入图片描述

可以看到，用原码计算加法是没有问题的。

用原码进行减法计算

我们再用原码来计算减法，因为CPU 只会计算加法，所以计算减法时，会将减法转换成加法。

比如，用4 位二进制数来计算计算 3 - 2，会将其转换成 3 + (-2)， 过程如下：

在这里插入图片描述

可以看到 3-2 计算出来的结果是 -5，显然是错误的。

所以，用二进制原码来计算减法是行不通的。实际上，计算机计算减法用的是补码。

在介绍补码之前，我们先来看下什么是溢出。

3，数字溢出

计算机中数字的表示是需要内存空间的，不同类型的数字所能占用的空间是不一样的。

比如，在Java 语言中short 类型占用 2 个字节，int 类型占用 4 个字节。

一个字节等于 8 位。

既然空间大小是有限制的，所以计算机中的数字也是有范围的，即上限和下限，如果数字超出限制，就会产生溢出。超出上限叫上溢出，超出下限叫下溢出。而溢出的部分会直接被舍去。

就像我们在上文中介绍的，对于N 位二进制有符号整数，所能表示的范围是 [-2^(N-1), 2^(N-1) - 1]。

由于溢出的部分会被舍去，那么最大值加1，将发生上溢出，变为最小值；最小值减1，将发生下溢出，变为最大值。

在这里插入图片描述

我们用Java 中的int 类型来验证，Java 中int 类型的最大、最小值分别是：

  • 最大值：Integer.MAX_VALUE，是 2147483647。
  • 最小值：Integer.MIN_VALUE，是 -2147483648。

用下面代码验证：

System.out.println(Integer.MAX_VALUE + 1 == Integer.MIN_VALUE); // true
System.out.println(Integer.MIN_VALUE - 1 == Integer.MAX_VALUE); // true

这两行代码的输出均为true，说明最大值加1 变为最小值，最小值减1 变为最大值。

所以，在计算机中，只要一个整数的类型确定了，那么它所能占用的内存空间大小也就确定了，从而它所能表示的数字范围也就确定了。那么不管给这个整数加多大的数字，或者减多大的数字，最终的结果都只能在这个范围内旋转。

就像表盘一样，当表针走过最大值的时候，就变成了最小值。

在这里插入图片描述

同样，这也等同于数学中的取余运算。只要分母确定了，不管分子是多大，或者多小的数字，最终的结果也都是在一个确定的范围之内。

比如我们对十进制5 进行取余计算，那么最终的结果都是在[0, 4] 范围之内，如下：

  • 0 % 5 = 0
  • 2 % 5 = 2
  • 397 % 5 = 2
  • 99999 % 5 = 4

可以总结出，对数字N 进行取余，N >= 2 且为整数，那么结果都在 [0, N-1] 范围之内。

4，二进制反码与补码

知道了溢出，就可以介绍CPU 如何计算减法了。CPU 的减法运算使用了二进制补码，补码实际上就是采用了溢出的原理。

我们直接给出反码与补码的定义：

  • 反码定义：正数的反码等于其原码，负数的反码是其原码除符号位外，按位取反。
  • 补码定义：正数的补码等于其原码，负数的补码是其反码加1。

比如下面的几个数字：

十进制数 2 3 -2 -5
二进制原码 0010 0011 1010 1101
二进制反码 0010 0011 1101 1010
二进制补码 0010 0011 1110 1011

我们用4 位二进制补码来计算 3+(-2)，如下：

在这里插入图片描述

最高位的1 发生上溢出，直接被舍去，所以结果是正确的。

所以，要记住，真实的计算机中的二进制是用补码表示的，而不是原码。

5，总结

本篇文章主要介绍了：

  • CPU 只能做加法，不能做减法，减法要转成加法做计算。
  • 二进制数字有三种表示方式：
    • 原码：除符号位外的其他位，保存该二进制数的绝对值。
    • 反码：正数的反码等于其原码，负数的反码是其原码除符号位外，按位取反。
    • 补码：正数的补码等于其原码，负数的补码是其反码加1。
  • 计算机中的数字采用二进制补码表示，而不是原码表示。
    • 补码采用了溢出的原理。
  • 计算机中的数字是有范围限制的，超出限制会发生溢出。
    • 超出上限叫做上溢出。最大值加1会发生上溢出，变为最小值。
    • 超出下限叫做下溢出。最小值减1会发生下溢出，变为最大值。

（本节完。）

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