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贝叶斯原理是英国数学家托马斯·贝叶斯于18 世纪提出的，当我们不能直接计算一件事情（A）发生的可能性大小的时候，可以间接的计算与这件事情有关的事情(X，Y，Z)发生的可能性大小，从而间接判断事情（A）发生的可能性大小。

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在介绍贝叶斯原理之前，先介绍几个与概率相关的概念。

1，概率相关概念

概率用于描述一件事情发生的可能性大小，用数学符号P(x) 表示，x 表示随机变量，P(x) 表示x 的概率。

随机变量根据变量取值是否连续，可分为离散型随机变量和连续型随机变量。

联合概率由多个随机变量共同决定，用P(x, y) 表示，含义为“事件x 与事件y 同时发生的概率”。

条件概率也是由多个随机变量共同决定，用P(x|y) 表示，含义为“在事件y 发生的前提下，事件x 发生的概率。”

边缘概率：从 P(x, y) 推导出 P(x)，从而忽略 y 变量。

  • 对于离散型随机变量，通过联合概率 P(x, y) 在 y 上求和， 可得到P(x)，这里的P(x) 就是边缘概率。
  • 对于连续型随机变量，通过联合概率 P(x, y) 在 y 上求积分， 可得到P(x)，这里的P(x) 就是边缘概率。

概率分布：将随机变量所有可能出现的值，及其对应的概率都展现出来，就能得到这个变量的概率分布，概率分布分为两种，分别是离散型和连续型。

常见的离散型数据分布模型有：

  • 伯努利分布：表示单个随机变量的分布，且该变量的取值只有两个，0 或 1。例如抛硬币（不考虑硬币直立的情况）的概率分布就是伯努利分布。数学公式如下：
    • P(x = 0) = 1 - λ
    • P(x = 1) = λ
  • 多项式分布：也叫分类分布，描述了一个具有 k 个不同状态的单个随机变量。这里的 k，是有限的数值，如果 k 为 2，那就变成了伯努利分布。
    • P(x = k) = λ
  • 二项式分布
  • 泊松分布

常见的连续型数据分布模型有：

  • 正态分布，也叫高斯分布，是最重要的一种。
  • 均匀分布
  • 指数分布
  • 拉普拉斯分布

正态分布的数学公式为：

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正态分布的分布图为：

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正态分布还可分为：

  • 一元正态分布：此时 μ为 0，σ为 1。
  • 多元正态分布。

数学期望，如果把“每次随机结果的出现概率”看做权重，那么期望就是所有结果的加权平均值。

方差表示的是随机变量的取值与其数学期望的偏离程度，方差越小意味着偏离程度越小，方差越大意味着偏离程度越大。

概率论研究的就是这些概率之间的转化关系。

2，贝叶斯定理

贝叶斯公式如下：

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含义：

  • 等号右边分子部分，P(Bi) 为先验概率，P(A|Bi) 为条件概率。
  • 等号右边整个分母部分为边缘概率。
  • 等号左边P(Bi|A) 为后验概率，由先验概率，条件概率，边缘概率计算得出。

贝叶斯定理可用于分类问题，将其用在分类问题中时，可将上面的公式简化为：

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其中：

  • c 表示一个分类，f 表示属性值。
  • P(c|f) 表示在待分类样本中，出现属性值 f 时，样本属于类别 c 的概率。
  • P(f|c) 是根据训练样本数据，进行统计得到的，分类 c 中出现属性 f 的概率。
  • P(c ) 是分类 c 在训练数据中出现的概率。
  • P(f) 是属性 f 在训练样本中出现的概率。

这就意味着，当我们知道一些属性特征值时，根据这个公式，就可以计算出所属分类的概率，最终所属哪个分类的概率最大，就划分为哪个分类，这就完成了一个分类问题。

贝叶斯推导

来看下贝叶斯公式是如何推导出来的。

如下图两个椭圆，左边为C，右边为F。

在这里插入图片描述

现在让两个椭圆产生交集：

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根据上图可知：在事件F 发生的条件下，事件C 发生的概率就是P(C ∩ F) / P(F)，即：

  • P(C | F) = P(C ∩ F) / P(F)

可得到：

  • P(C ∩ F) = P(C | F) * P(F)

同理可得：

  • P(C ∩ F) = P(F | C) * P(C)

所以：

  • P(C ∩ F) = P(C | F) * P(F) = P(F | C) * P(C)
  • P(C | F) = P(F | C) * P(C) / P(F)

3，朴素贝叶斯

假设我们现在有一个数据集，要使用贝叶斯定理，进行分类。特征有两个：f1，f2。现在要对数据F 进行分类，那我们需要求解：

  • P(c|F)：表示数据F 属于分类c 的概率。

因为特征有 f1 与 f2，那么：

  • P(c|F) = P(c|(f1,f2))

对于分类问题，特征往往不止一个。如果特征之间相互影响，也就是f1 与f2 之间相互影响，那么P(c|(f1,f2)) 就不容易求解。

朴素贝叶斯在贝叶斯的基础上做了一个简单粗暴的假设，它假设多个特征之间互不影响，相互独立。

朴素的意思就是纯朴，简单。

用数学公式表示就是：

  • P(A, B) = P(A) * P(B)

实际上就是大学概率论中所讲的事件独立性，即事件A 与事件B 的发生互不干扰，相互独立。

那么，根据朴素贝叶斯，P(c|F) 的求解过程如下：

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假设我们现在要分类的数据有两类：c1 和 c2。

那么对于数据F 的分类问题，我们就需要求解两个概率：P(c1|F) 和P(c2|F)：

  • 如果P(c1|F) > P(c2|F)，那么F 属于c1 类。
  • 如果P(c1|F) < P(c2|F)，那么F 属于c2 类。

根据贝叶斯原理，我们可以得到：

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对于分类问题，我们的最终目的是分类，而不是真正的求解出P(c1|F) 和 P(c2|F) 的确切数值。

根据上面的公式，我们可以看到，等号右边的分母部分都是P(F)：

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所以我们只需要求出P(F|c1) × P(c1) 和 P(F|c2) × P(c2)，就可以知道P(c1|F) 和 P(c2|F) 哪个大了。

所以对于P(c|F) 可以进一步简化：

在这里插入图片描述

4，处理分类问题的一般步骤

用朴素贝叶斯原理，处理一个分类问题，一般要经过以下几个步骤：

  • 准备阶段：
    • 获取数据集。
    • 分析数据，确定特征属性，并得到训练样本。
  • 训练阶段：
    • 计算每个类别概率P(Ci)。
    • 对每个特征属性，计算每个分类的条件概率P(Fj|Ci)。
    • Ci 代表所有的类别。
    • Fj 代表所有的特征。
  • 预测阶段：
    • 给定一个数据，计算该数据所属每个分类的概率P(Fj|Ci) * P(Ci)。
    • 最终那个分类的概率大，数据就属于哪个分类。

5，用朴素贝叶斯分类

接下来我们来处理一个实际的分类问题，我们处理的是离散型数据。

5.1，准备数据集

我们的数据集如下：

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该数据集的特征集有身高，体重和鞋码，目标集为性别。

我们的目的是训练一个模型，该模型可以根据身高，体重和鞋码来预测所属的性别。

我们给定一个特征：

  • 身高 = 高，用F1 表示。
  • 体重 = 中，用F2 表示。
  • 鞋码 = 中，用F3 表示。

要求这个特征是男还是女？（用C1 表示男，C2 表示女）也就是要求P(C1|F) 大，还是P(C2|F) 大？

# 根据朴素贝叶斯推导

   P(C1|F)
=> P(C1|(F1,F2,F3))
=> P(C1|F1) * P(C1|F2) * P(C1|F3)
=> [P(F1|C1) * P(C1)] * [P(F2|C1) * P(C1)] * [P(F3|C1) * P(C1)]

   P(C2|F)
=> P(C2|(F1,F2,F3))
=> P(C2|F1) * P(C2|F2) * P(C2|F3)
=> [P(F1|C2) * P(C2)] * [P(F2|C2) * P(C2)] * [P(F3|C2) * P(C2)]

5.2，计算P(Ci)

目标集共有两类：男和女，男出现4 次，女出现4 次，所以：

  • P(C1) = 4 / 8 = 0.5
  • P(C2) = 4 / 8 = 0.5

5.3，计算P(Fj|Ci)

通过观察表格中的数据，我们可以知道：

# 性别为男的情况下，身高=高 的概率
P(F1|C1) = 2 / 4 = 0.5

# 性别为男的情况下，体重=中 的概率
P(F2|C1) = 2 / 4 = 0.5

# 性别为男的情况下，鞋码=中 的概率
P(F3|C1) = 1 / 4 = 0.25

# 性别为女的情况下，身高=高 的概率
P(F1|C2) = 0 / 4 = 0

# 性别为女的情况下，体重=中 的概率
P(F2|C2) = 2 / 4 = 0.5

# 性别为女的情况下，鞋码=中 的概率
P(F3|C2) = 2 / 4 = 0.5

5.4，计算P(Fj|Ci) * P(Ci)

上面我们已经推导过P(C1|F) 和 P(C2|F)，下面可以求值了：

   P(C1|F)
=> [P(F1|C1) * P(C1)] * [P(F2|C1) * P(C1)] * [P(F3|C1) * P(C1)]
=> [0.5 * 0.5] * [0.5 * 0.5] * [0.25 * 0.5]
=> 0.25 * 0.25 * 0.125
=> 0.0078125

   P(C2|F)
=> [P(F1|C2) * P(C2)] * [P(F2|C2) * P(C2)] * [P(F3|C2) * P(C2)]
=> [0 * 0.25] * [0.5 * 0.5] * [0.5 * 0.5]
=> 0

最终可以看到 P(C1|F) > P(C2|F)，所以该特征属于C1，即男性。

6，总结

可以看到，对于一个分类问题：给定一个数据F，求解它属于哪个分类？ 实际上就是要求解F 属于各个分类的概率大小，即P(C|F)。

根据朴素贝叶斯原理，P(C|F) 与 P(F|C) * P(C) 正相关，所以最终要求解的就是P(F|C) * P(C)。这就将一个分类问题转化成了一个概率问题。

下篇文章会介绍如何使用朴素贝叶斯处理实际问题。

（本节完。）

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